Effiziente Grenze

Was bedeutet das?

Die effiziente Grenze veranschaulicht den Zielkonflikt zwischen der geschätzten Rendite eines Portfolios und seinem Risiko. Im Mean-Variance-Ansatz nach Markowitz (1952) wird das Risiko anhand der Standardabweichung der Portfoliorenditen gemessen. Ein Portfolio ist effizient, wenn kein anderes zulässiges Portfolio bei gleicher oder geringerer Volatilität eine höhere geschätzte erwartete Rendite bietet.

Die effiziente Grenze ist keine Liste von Wertpapieren, die gehandelt werden sollen. Sie bildet die obere Begrenzung der möglichen Risiko-Rendite-Kombinationen für eine festgelegte Auswahl an Vermögenswerten, Nebenbedingungen und Schätzungen. Ändern sich diese Eingaben, kann sich auch die Grenze verschieben. Ein Portfolio unterhalb der Grenze ist im Rahmen dieses Modells ineffizient: Eine andere zulässige Zusammensetzung bietet eine günstigere geschätzte Risiko-Rendite-Kombination.

Wie wird sie berechnet?

Für ein Portfolio aus mehreren Vermögenswerten werden die geschätzte erwartete Rendite und Volatilität anhand der Gewichtungen, geschätzten Renditen und Kovarianzen berechnet:

• E(Rp) = Σ wi × E(Ri)
• σp = √(Σi Σj wi × wj × Cov(Ri, Rj))

Dabei steht E(Rp) für die geschätzte erwartete Portfoliorendite; wi für die Portfolio-Gewichtung des Vermögenswerts i als Dezimalzahl; E(Ri) für dessen geschätzte erwartete Rendite; σp für die Standardabweichung der Portfoliorenditen; und Cov(Ri, Rj) für die Kovarianz der Renditen der Vermögenswerte i und j. Renditen und Kovarianzen müssen sich auf einheitliche Zeiträume beziehen, zum Beispiel Jahresrenditen und jährliche Kovarianzen. Bei einem vollständig investierten Portfolio summieren sich die Gewichtungen auf 1.

Ein Optimierungsverfahren variiert die Gewichtungen und berücksichtigt dabei Vorgaben wie ein Leerverkaufsverbot (wi ≥ 0). Für jede angestrebte erwartete Rendite sucht es das zulässige Portfolio mit der geringsten Varianz, σp². Die effiziente Grenze ist der renditestärkere Abschnitt dieser Minimum-Varianz-Grenze und beginnt beim globalen Minimum-Varianz-Portfolio. Ohne einen risikofreien Vermögenswert ist das Minimum-Varianz-Portfolio nicht zwangsläufig auch das Portfolio mit der höchsten Rendite.

Rechenbeispiel

Die folgenden Zahlen sind hypothetische, gerundete Werte und keine Prognosen. Angenommen, Aktie A hat eine geschätzte Jahresrendite von 8 % und eine jährliche Volatilität von 10 %; für Aktie B liegen die entsprechenden Werte bei 12 % und 20 %. Die jährliche Renditekorrelation der beiden Aktien sei null. Leerverkäufe und Transaktionskosten werden ausgeschlossen.

1. Jeweils 50 % investieren: E(Rp) = 0.5 × 8 % + 0.5 × 12 % = 10 % pro Jahr.
2. Bei einer Korrelation von null beträgt die Kovarianz ebenfalls null. Die Portfoliovarianz ist 0.5² × 10 %² + 0.5² × 20 %² = 0.0125 in quadrierten Dezimalrendite-Einheiten. Die Volatilität beträgt √0.0125 ≈ 11.18 % pro Jahr.
3. Zum Vergleich: Bei einer Gewichtung von 80 % in Aktie A und 20 % in Aktie B beträgt die geschätzte Rendite 0.8 × 8 % + 0.2 × 12 % = 8.8 %; die Volatilität liegt bei √(0.8² × 0.10² + 0.2² × 0.20²) ≈ 8.94 % pro Jahr.

Unter diesen Annahmen weist die zweite Zusammensetzung eine niedrigere geschätzte Rendite und eine niedrigere Volatilität auf. Dieser Vergleich allein zeigt nicht, ob eines der Portfolios effizient ist: Dafür müssen alle zulässigen Gewichtungen geprüft werden. Bei diesen beiden Aktien und den genannten Annahmen liegt das 50/50-Portfolio auf dem effizienten Abschnitt; das 80/20-Portfolio hingegen nicht, da eine zulässige Zusammensetzung dieselbe geschätzte Rendite bei geringerer Volatilität bietet.

Warum ist das vor einem Trade wichtig?

Ein geplanter Trade verändert die Portfolio-Gewichtungen und kann dadurch die geschätzte Rendite, Volatilität und Diversifikation beeinflussen. Wer das Portfolio nach dem Trade statt nur die einzelne Aktie betrachtet, kann besser beurteilen, ob die Risikoänderung beabsichtigt ist oder ob eine unerwünschte Konzentration entsteht.

Die effiziente Grenze berücksichtigt praktische Kosten nur, wenn diese ausdrücklich modelliert werden. Geld-Brief-Spanne, Markteinfluss, Provisionen und Steuern können die Wirtschaftlichkeit einer Umschichtung zwischen Portfolios verändern. Auch historische Schätzungen können sich verschieben. Zudem erfasst die Standardabweichung nicht alle Risiken, etwa Liquiditätsprobleme oder schwere Verluste.

So setzt PreTrAIde die effiziente Grenze ein

Aus den Produktangaben geht nicht hervor, dass PreTrAIde eine effiziente Grenze berechnet oder optimiert. Die Vorhandelsanalyse prüft einen vorgeschlagenen Aktienkorb, bevor eine Order platziert wird. Sie umfasst Portfolioaufgliederungen, einen Konzentrationsindex nach Herfindahl-Hirschman, Volatilitäts- und Liquiditätsbewertungen, geschätzte Ausführungskosten sowie eine Risikobewertung. Diese Prüfungen können eine mithilfe eines Grenzmodells betrachtete Portfolioallokation um praktische Gesichtspunkte ergänzen. Ein Urteil von PreTrAIde dient der Entscheidungsunterstützung und ist keine Anlageempfehlung.

Häufige Fehler

• Geschätzte Renditen, Korrelationen oder die effiziente Grenze selbst als sichere Vorhersage künftiger Ergebnisse zu behandeln.
• Ein Portfolio allein wegen seiner niedrigen Volatilität als effizient zu bezeichnen, ohne es mit zulässigen Alternativen zu vergleichen.
• Anzunehmen, ein effizientes Portfolio eigne sich für alle Anlegerinnen und Anleger: Anlagebeschränkungen und Risikotoleranz unterscheiden sich.
• Handelskosten, Konzentration und Liquidität zu ignorieren, wenn theoretische Gewichtungen in Orders umgesetzt werden.