Standardabweichung

Bedeutung

Für Anleger ist häufig entscheidend, wie stark die Renditen einer Aktie um ihren historischen Durchschnitt geschwankt haben. Die Standardabweichung beziffert diese Streuung. Wird sie anhand täglicher prozentualer Renditen berechnet, lautet ihre Einheit Prozentpunkte pro Tag. Werden die Renditen als Dezimalzahlen angegeben, ist das Ergebnis eine Dezimalrendite pro Tag.

Eine größere Standardabweichung bedeutet, dass die Renditen im betrachteten Zeitraum stärker gestreut waren. Sie sagt nicht aus, ob die nächste Rendite positiv oder negativ sein wird. Die Standardabweichung von Renditen wird häufig als Maß für die historische Volatilität verwendet. Sie beschreibt jedoch nur die ausgewählten Daten und den betrachteten Zeitraum – keine unveränderliche Eigenschaft einer Aktie.

Berechnung

Für eine Stichprobe von Renditen gilt: s = sqrt[Σ(rᵢ − r̄)² / (n − 1)].

• s ist die Stichprobenstandardabweichung und wird in derselben Einheit wie die Renditen angegeben.
• rᵢ ist die Rendite Nummer i; r̄ ist das arithmetische Mittel der Stichprobenrenditen.
• Σ bedeutet, dass die quadrierten Abweichungen aller Renditen addiert werden; n ist die Anzahl der Renditen.
• n − 1 ist der Nenner für eine Stichprobe. Er wird verwendet, wenn die beobachteten Renditen als Stichprobe betrachtet werden. Beschreiben die Daten die gesamte Grundgesamtheit, wird stattdessen durch n geteilt.

Eine einfache tägliche Aktienrendite lässt sich berechnen als (heutiger Kurs / Schlusskurs des Vortags) − 1. Achten Sie darauf, Kurse durchgängig entweder mit oder ohne Anpassungen für Dividenden und Aktiensplits zu verwenden. Für die Stichprobenformel werden mindestens zwei Renditen benötigt.

Rechenbeispiel

Angenommen, eine hypothetische Aktie weist fünf Tagesrenditen auf: −2 %, −1 %, 0 %, 1 % und 2 %. Diese Werte dienen nur der Veranschaulichung und sind keine beobachteten Marktdaten.

1. Mittelwert berechnen: (−2 % − 1 % + 0 % + 1 % + 2 %) / 5 = 0 %.
2. Den Mittelwert von jeder Rendite abziehen: −2, −1, 0, 1 und 2 Prozentpunkte.
3. Die Abweichungen quadrieren und addieren: 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10 quadrierte Prozentpunkte.
4. Durch n − 1 = 4 teilen: Die Stichprobenvarianz beträgt 10 / 4 = 2,5 quadrierte Prozentpunkte.
5. Die Quadratwurzel ziehen: sqrt(2,5) ≈ 1,58 Prozentpunkte pro Tag.

Das Ergebnis beschreibt die Streuung dieser fünf Renditen. Es ist keine Prognose, dass die Rendite des nächsten Tages höchstens 1,58 Prozentpunkte von null abweicht. Bei Verwendung von n = 5 ergäbe sich ein anderes Ergebnis: eine Standardabweichung der Grundgesamtheit von etwa 1,41 Prozentpunkten.

Bedeutung vor dem Handel

Die Standardabweichung der Tagesrenditen hilft dabei, mögliche tägliche Wertschwankungen einer geplanten Position einzuordnen. Bei einer hypothetischen Position im Wert von 1.000 US-Dollar und einer täglichen Standardabweichung der Rendite von 1,58 % entspricht eine Rendite von einer Standardabweichung einer Schwankung des Positionswerts um 15,80 US-Dollar – sofern die Positionsgröße unverändert bleibt. Dieser Betrag dient der Einordnung und ist weder eine Verlustgrenze noch eine Prognose.

Eine Analyse vor dem Handel kann die Volatilität zusammen mit Positionsgröße, Liquidität und Ausführungskosten berücksichtigen. Die Standardabweichung allein lässt Handelskosten außer Acht und erfasst nicht alle Risiken: Plötzliche Kurslücken, extreme Verluste und Veränderungen der Volatilität können dazu führen, dass die tatsächlichen Ergebnisse deutlich von einer jüngsten historischen Schätzung abweichen.

Verwendung durch PreTrAIde

PreTrAIde schätzt die tägliche Volatilität anhand einer Kombination von Schätzverfahren: Parkinson, Schlusskurs-zu-Schlusskurs, Yang-Zhang und vereinfachtes GARCH(1,1). Die Volatilität der Schlusskurs-zu-Schlusskurs-Renditen hängt mit dem hier beschriebenen Konzept der Standardabweichung zusammen. Es ist jedoch nicht davon auszugehen, dass die kombinierte Schätzung dem einfachen Stichprobenwert aus dem Beispiel entspricht.

Im Rahmen seiner Analyse vor dem Handel berechnet PreTrAIde außerdem den Value at Risk für einen Tag auf einem Konfidenzniveau von 95 % sowie einen Volatilitätswert von 0 bis 100 für jede Aktie und das Portfolio. Das Ergebnis umfasst ein GO-, NO-GO- oder MODIFY-Urteil mit einer Risikoeinschätzung und einer verständlichen Begründung. Diese Ergebnisse unterstützen die Entscheidung vor Aufgabe einer Order; sie sind weder Garantien noch Empfehlungen.

Häufige Fehler

• Einheiten verwechseln: Eine Standardabweichung von 0,0158 bei Dezimalrenditen entspricht 1,58 % Rendite beziehungsweise einer Streuung von 1,58 Prozentpunkten um einen in Prozent angegebenen Mittelwert.
• Streuung von Kursen und Renditen verwechseln: Die Standardabweichung von Kursen wird in Währungseinheiten gemessen; die Standardabweichung von Renditen misst relative Veränderungen. Sie beantworten unterschiedliche Fragen.
• Als maximalen Verlust auffassen: Große Bewegungen können über eine Standardabweichung hinausgehen. Außerdem berücksichtigt die Standardabweichung positive und negative Abweichungen gleichermaßen.
• Unterschiedliche Zeiträume vergleichen: Tages- und annualisierte Werte sind nicht austauschbar. Eine Tageskennzahl mit der Quadratwurzel der Anzahl der Handelstage zu multiplizieren, ist eine gängige Konvention, setzt jedoch bestimmte Annahmen über Renditen voraus.
• Normalverteilte Renditen voraussetzen: Die Standardabweichung allein gibt keine Wahrscheinlichkeiten für künftige Gewinne oder Verluste an.