Risiko und Volatilität

Kovarianz

Die Kovarianz misst, wie sich zwei Variablen – etwa Aktienrenditen – im Verhältnis zu ihren jeweiligen Durchschnittswerten gemeinsam bewegen.

Bedeutung

Beim Vergleich zweier Aktien hilft die Kovarianz zu beschreiben, ob sich ihre Renditen tendenziell gemeinsam aufwärts oder abwärts bewegt haben. Eine positive Kovarianz bedeutet, dass überdurchschnittliche Renditen der einen Aktie meist mit überdurchschnittlichen Renditen der anderen einhergingen. Eine negative Kovarianz bedeutet, dass überdurchschnittliche Renditen der einen Aktie meist mit unterdurchschnittlichen Renditen der anderen einhergingen. Ein Wert nahe null deutet auf wenig lineare gemeinsame Bewegung in den verwendeten Beobachtungen hin.

Die Kovarianz ist weder eine Wahrscheinlichkeit noch eine prozentuale Rendite. Ihre Höhe hängt von Maßstab und Einheiten der Eingangsgrößen ab. Werden beide Größen als tägliche Renditen in Dezimalform angegeben, lautet die Einheit des Ergebnisses dezimale Rendite zum Quadrat. Die Verwendung von Renditen in Prozentpunkten verändert den Zahlenwert um den Faktor 10.000. Die Korrelation standardisiert die Kovarianz und erleichtert so den Vergleich der Stärke linearer gemeinsamer Bewegungen zwischen verschiedenen Paaren.

Berechnung

Für eine Stichprobe von Beobachtungen gilt:

Stichprobenkovarianz = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / (n − 1).

  • xᵢ und yᵢ sind die Werte der beiden Variablen im selben Beobachtungszeitraum, etwa die Tagesrenditen der Aktien X und Y am Tag i.
  • x̄ und ȳ sind die jeweiligen durchschnittlichen Renditen der Stichprobe.
  • n ist die Anzahl der Beobachtungspaare. Für diese Stichprobenformel sind mindestens zwei erforderlich.
  • Σ bedeutet, dass die Produkte über alle n Beobachtungen addiert werden.

Der Nenner n − 1 ist üblich, wenn die Kovarianz anhand einer Stichprobe geschätzt wird. Wenn die Beobachtungen die gesamte betrachtete Grundgesamtheit bilden, wird bei der Populationskovarianz stattdessen durch n geteilt. Geben Sie an, welche Konvention Sie verwenden, wenn Sie Ergebnisse vergleichen.

Rechenbeispiel

Angenommen, zwei hypothetische Aktien weisen über drei Tage gepaarte Tagesrenditen auf. Die Renditen sind in Prozentpunkten und nicht in Dezimalform angegeben.

Tag Aktie X Aktie Y
1 1 % 2 %
2 2 % 1 %
3 3 % 3 %
  1. Berechnen Sie die jeweiligen Durchschnittswerte: Für X gilt (1 + 2 + 3) / 3 = 2 %; für Y gilt (2 + 1 + 3) / 3 = 2 %.
  2. Ziehen Sie die Durchschnittswerte ab. Die Abweichungen von X betragen −1, 0, +1 Prozentpunkte; die von Y 0, −1, +1 Prozentpunkte.
  3. Multiplizieren Sie die gepaarten Abweichungen und addieren Sie die Ergebnisse: (−1 × 0) + (0 × −1) + (1 × 1) = 1 Quadratprozentpunkt.
  4. Teilen Sie durch n − 1 = 2. Die Stichprobenkovarianz beträgt 0,5 Quadratprozentpunkte beziehungsweise 0,00005, wenn die Renditen als Dezimalzahlen angegeben werden.

Das positive Ergebnis spiegelt die gemeinsame Bewegung in dieser sehr kleinen hypothetischen Stichprobe wider. Drei Tage reichen nicht aus, um eine stabile Beziehung festzustellen oder künftige Renditen vorherzusagen.

Warum die Kovarianz vor einem Trade wichtig ist

Das Risiko eines Aktienkorbs hängt nicht nur von der Volatilität der einzelnen Positionen ab, sondern auch davon, wie sich ihre Renditen gemeinsam bewegen. Bei einem Portfolio aus zwei Aktien lautet der Kovarianzterm in der Renditevarianz 2 × wX × wY × Cov(X,Y). Dabei sind wX und wY die als Anteile ausgedrückten Portfoliogewichte und Cov(X,Y) die Renditekovarianz. Eine positive Kovarianz erhöht diesen Term; eine negative Kovarianz verringert ihn. Auch die übrigen Varianzterme sind relevant, und vergangene Zusammenhänge können sich verändern.

Vor einer Order kann eine Pre-Trade-Prüfung die Kovarianz heranziehen, um zu untersuchen, ob eine neu hinzukommende Position das geschätzte Portfoliorisiko verändert. Das unterscheidet sich von einer Konzentration nach Einzeltitel, Sektor oder Land: Auch Aktien aus unterschiedlichen Sektoren können sich gemeinsam bewegen.

Verwendung bei PreTrAIde

In den Produktangaben von PreTrAIde wird nicht angegeben, dass die Plattform Kovarianzen berechnet oder anzeigt. Die Pre-Trade-Analyse umfasst stattdessen Schätzungen der Volatilität auf Aktienebene, eine 1-Tages-Value-at-Risk-Berechnung bei 95 % sowie Aufschlüsselungen und Konzentrationskennzahlen für den Aktienkorb. Diese Werte bieten andere Risikoperspektiven, sollten aber nicht als Kovarianzmatrix oder Messung paarweiser gemeinsamer Renditebewegungen dargestellt werden. Die Urteile GO, NO-GO und MODIFY von PreTrAIde dienen der Entscheidungsunterstützung und sind keine Empfehlungen.

Häufige Fehler

  • Kovarianz mit Korrelation gleichsetzen: Die Kovarianz hat Einheiten und keinen festen Wertebereich von −1 bis +1; die Korrelation ist einheitenlos und auf diesen Bereich beschränkt.
  • Renditeformate vermischen: Renditen in Dezimalform und Renditen in Prozentpunkten führen zu unterschiedlich skalierten Kovarianzwerten.
  • Nicht übereinstimmende Daten verwenden: Berechnen Sie die Kovarianz anhand von Renditen aus denselben Zeiträumen und behandeln Sie fehlende Beobachtungen einheitlich.
  • Annehmen, ein negativer Wert garantiere Schutz: Historische gemeinsame Bewegungen können sich verändern – auch in Stressphasen an den Märkten.
  • Kovarianz mit Kausalität verwechseln: Dass sich zwei Aktien gemeinsam bewegen, erklärt nicht, warum sie sich bewegt haben.

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet eine negative Kovarianz bei zwei Aktien?

In den untersuchten Beobachtungen gingen überdurchschnittliche Renditen der einen Aktie tendenziell mit unterdurchschnittlichen Renditen der anderen einher. Das bedeutet nicht, dass sich die Aktien immer in entgegengesetzte Richtungen bewegen.

Was ist der Unterschied zwischen Kovarianz und Korrelation?

Die Kovarianz behält die Skalierung der beiden Eingangsgrößen bei. Die Korrelation ergibt sich, indem man die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen teilt. Sie ist einheitenlos und liegt, sofern beide Standardabweichungen größer als null sind, zwischen −1 und +1.

Kann die Kovarianz größer als eins sein?

Ja. Die Kovarianz ist nicht auf den Bereich von −1 bis +1 beschränkt. Ihr Zahlenwert hängt von den Einheiten und der Variabilität der Größen ab. Dieser Wertebereich gilt für die Korrelation, nicht für die Kovarianz.

Verwandte Begriffe

Korrelation Korrelation ist ein einheitenloses Maß zwischen −1 und +1 dafür, wie eng zwei Variablen linear zusammenhängen. Volatilität Volatilität misst, wie stark die Renditen eines Vermögenswerts über einen bestimmten Zeitraum schwanken. Üblicherweise wird sie als Standardabweichung der Renditen angegeben. Standardabweichung Die Standardabweichung misst, wie stark Beobachtungen – etwa tägliche Aktienrenditen – um ihren Mittelwert streuen. Sie wird in derselben Einheit wie die Beobachtungen angegeben. Diversifikation Diversifikation bedeutet, ein Portfolio auf Anlagen mit unterschiedlichen Risikoquellen zu verteilen, damit sein Ergebnis weniger stark von einer einzelnen Anlage abhängt. Moderne Portfoliotheorie Die Moderne Portfoliotheorie ist ein Rahmen zur Beurteilung von Portfolios anhand ihrer erwarteten Rendite und ihres Risikos. Mithilfe von Anlagegewichten und Korrelationen werden Kombinationen mit dem geringsten modellierten Risiko für eine bestimmte erwartete Rendite ermittelt. Konzentrationsrisiko Ein Konzentrationsrisiko besteht, wenn ein übermäßig großer Teil des Portfolios von einer einzelnen Aktie, Branche, einem Land oder einer anderen gemeinsamen Risikoquelle abhängt und dadurch überproportionale Verluste entstehen können.

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