GARCH-Modell

Bedeutung

Aktienrenditen schwanken nicht immer gleich stark. Auf ruhige Handelstage folgen oft weitere ruhige Tage, auf turbulente häufig weitere turbulente. Ein GARCH-Modell bildet dieses Muster ab, indem es seine Volatilitätsschätzung mit jeder neuen Rendite aktualisiert. GARCH steht für generalisierte autoregressive bedingte Heteroskedastizität. „Bedingt“ bedeutet, dass die Schätzung von den bis dahin verfügbaren Informationen abhängt.

Die häufig verwendete Variante GARCH(1,1) schätzt die Varianz der Rendite der nächsten Periode, nicht deren Richtung oder den nächsten Aktienkurs. Die daraus abgeleitete Volatilität ist die Quadratwurzel der Varianz. Bei täglichen Renditen ergibt sich eine tägliche Volatilität; eine in Prozent angegebene Rendite führt zu einer Volatilitätsschätzung in Prozent. Anders als eine einzelne Standardabweichung, die über ein festes historisches Zeitfenster berechnet wird, verändert sich die Schätzung, während das Modell jede neue Rendite verarbeitet.

Berechnung

Eine übliche GARCH(1,1)-Aktualisierung lautet h_t = ω + αε_(t−1)² + βh_(t−1).

• h_t ist die geschätzte bedingte Varianz der Rendite für Periode t, angegeben in quadrierten Renditeeinheiten.
• ω (Omega) ist ein nichtnegativer Basisvarianzterm in denselben quadrierten Einheiten.
• α (Alpha) ist das nichtnegative Gewicht des quadrierten Renditeschocks aus der Vorperiode.
• ε_(t−1) ist die Rendite der Vorperiode abzüglich ihrer modellierten erwarteten Rendite, angegeben in Renditeeinheiten. Durch das Quadrieren fällt das Vorzeichen weg.
• β (Beta) ist das nichtnegative Gewicht der bedingten Varianz der Vorperiode, h_(t−1).

Die geschätzte Volatilität lautet σ_t = √h_t. Alpha und Beta sind dimensionslos; ihre Werte und Omega werden anhand historischer Renditen geschätzt und nicht allein aus der jüngsten Beobachtung abgeleitet. Bei einer üblichen Spezifikation gilt für eine endliche langfristige Varianz α + β < 1. Höhere Werte für α + β deuten innerhalb dieser Spezifikation darauf hin, dass Volatilitätsschocks länger anhalten. Die Periodenlänge des Modells muss zur Renditereihe passen: Bei täglichen Eingabedaten ergibt sich eine Prognose für den nächsten Tag, sofern das Modell nicht auf einen anderen Zeithorizont erweitert wird.

Rechenbeispiel

Hypothetisches Beispiel: Angenommen, tägliche Renditen sind als Dezimalzahlen angegeben und ein geschätztes Modell hat die Parameter ω = 0,000004, α = 0,10 und β = 0,80. Die geschätzte Varianz des Vortags beträgt h_(t−1) = 0,000100. Das entspricht einer täglichen Volatilität von 1,00 %. Nehmen wir an, der Renditeschock des Vortags beträgt ε_(t−1) = −0,02 oder −2 %.

1. Schock quadrieren: (−0,02)² = 0,0004.
2. Schock gewichten: 0,10 × 0,0004 = 0,000040.
3. Vorperiodenvarianz gewichten: 0,80 × 0,000100 = 0,000080.
4. Terme addieren: h_t = 0,000004 + 0,000040 + 0,000080 = 0,000124.
5. Quadratwurzel ziehen: σ_t = √0,000124 ≈ 0,01114, also rund 1,11 % tägliche Volatilität.

Nach dem ungewöhnlich großen Schock stieg die Schätzung von 1,00 % auf rund 1,11 %. Da die Formel den Schock quadriert, würde ein Schock von +2 % in diesem Grundmodell denselben Beitrag leisten. Das Ergebnis bedeutet nicht, dass die Rendite am nächsten Tag voraussichtlich +1,11 % oder −1,11 % beträgt.

Bedeutung vor einem Trade

Eine veränderliche Volatilitätsschätzung liefert Kontext für die Positionsgröße, kurzfristige Risikokennzahlen und Ausführungsbedingungen. Ändert sich beispielsweise die als Eingabe verwendete Volatilität, kann sich auch eine Tages-Value-at-Risk-Berechnung ändern. Bei höherer geschätzter Volatilität lassen sich außerdem ein festes Preislimit oder erwartete Ausführungskosten womöglich schwerer einordnen, wenn die aktuellen Marktbedingungen unberücksichtigt bleiben.

GARCH erfasst die Persistenz vergangener Schwankungen, kann aber eine noch unbekannte Gewinnüberraschung, einen Handelsstopp oder ein anderes abruptes Ereignis nicht zuverlässig vorhersagen. Das Ergebnis hängt von den Renditedaten, dem Schätzzeitraum und den Modellannahmen ab. Es ist eine Eingangsgröße für die Risikobewertung, kein Handelssignal und keine Garantie für die Spanne künftiger Renditen.

Verwendung bei PreTrAIde

Die Pre-Trade-Analyse von PreTrAIde schätzt die tägliche Volatilität anhand einer Kombination aus den Schätzverfahren Parkinson, Close-to-Close, Yang–Zhang und vereinfachtem GARCH(1,1). Die tägliche Volatilität ist eine Eingangsgröße der quantitativen Risikoanalyse, zu der außerdem eine eintägige Value-at-Risk-Schätzung bei 95 % und Volatilitätsscores gehören. PreTrAIde analysiert einen Aktienkorb vor der Orderaufgabe und liefert Entscheidungshilfen mit Begründungen; Orders werden nicht platziert. In den Produktinformationen von PreTrAIde werden weder die Gewichtung der Kombination noch die genauen Parameter des vereinfachten GARCH-Schätzers genannt.

Häufige Fehler

• Volatilität mit der Richtung verwechseln. Die Schätzung beschreibt das Ausmaß der Schwankungen, nicht, ob die nächste Rendite positiv oder negativ ausfällt.
• Einheiten vermischen. Ein Dezimalschock von 0,02 entspricht 2 %. Wird stattdessen 2 eingegeben, verändert sich sein quadrierter Beitrag um den Faktor 10.000.
• Varianz und Volatilität verwechseln. 0,000124 ist die Varianz in quadrierten Dezimalrenditeeinheiten; ihre Quadratwurzel entspricht rund 1,11 % Volatilität.
• Annehmen, dass ein Modell für alle Marktbedingungen passt. Abrupte Regimewechsel, geringer Handel und Extrembewegungen können dazu führen, dass die Schätzung für die weitere Entwicklung weniger repräsentativ ist.
• Eine tägliche Schätzung als annualisiert bezeichnen. Die Umrechnung zwischen Zeithorizonten erfordert eine ausdrückliche Annahme. Die tägliche GARCH-Ausgabe ist nicht automatisch eine annualisierte Volatilitätskennzahl.