criterio di Kelly

Significato

Il criterio di Kelly risponde a una domanda sul dimensionamento: se un’opportunità rischiosa può essere sfruttata più volte, quale quota del capitale disponibile massimizza il tasso di crescita atteso della ricchezza? La risposta dipende sia dalla probabilità di guadagno sia dall’entità dei guadagni rispetto alle perdite. Una probabilità di successo elevata, da sola, non basta.

Kelly è un riferimento matematico, non un’indicazione a utilizzare necessariamente la frazione calcolata. La formula standard presuppone un’opportunità ripetibile con due possibili esiti e probabilità e payoff noti. Le azioni possono avere molti esiti possibili e i relativi parametri vanno stimati: di conseguenza, la frazione calcolata può essere molto sensibile agli errori.

Come si calcola

Per un’operazione semplificata che può generare un guadagno prefissato oppure una perdita prefissata, la frazione Kelly piena è f* = (b × p − q) / b = p − q / b.

• f* è la frazione di capitale allocata all’opportunità, espressa in forma decimale.
• p è la probabilità di guadagno, espressa in forma decimale.
• q = 1 − p è la probabilità di perdita.
• b è il guadagno netto per ogni US$1 perso se si verifica l’esito favorevole. Per esempio, guadagnare US$2 quando l’esito sfavorevole comporta una perdita di US$1 significa che b = 2.

Questa versione presuppone che, nell’esito sfavorevole, si perda tutto il capitale allocato e che, nell’esito favorevole, si guadagni un importo pari a b volte tale capitale. Se si perderebbe solo una parte del valore di una posizione azionaria, la frazione della formula si riferisce invece al capitale a rischio; per convertirla in una posizione azionaria occorre definire esplicitamente l’ipotesi di perdita. I costi di transazione vanno inclusi nella stima dei payoff netti. Se il risultato è zero o negativo, il modello semplificato non individua alcuna allocazione positiva che migliori la ricchezza logaritmica attesa.

Esempio svolto

Supponiamo, in via ipotetica, che un’opportunità ripetibile abbia il 60% di probabilità di generare un guadagno di US$2 per ogni US$1 a rischio e il 40% di probabilità di comportare una perdita di quell’US$1. Ipotizziamo un capitale di US$10.000 e che l’intero importo allocato sia a rischio.

1. Impostiamo p = 0,60, q = 0,40 e b = 2.
2. Calcoliamo f* = 0,60 − 0,40 / 2 = 0,40.
3. Moltiplichiamo per il capitale: 0,40 × US$10.000 = US$4.000.

In base a queste specifiche ipotesi, il risultato della Kelly piena è il 40% del capitale, cioè US$4.000. Non è una stima di quanto renderebbe una vera operazione su un’azione. Se la probabilità scende al 50%, mantenendo invariati i payoff, il risultato diventa 0,50 − 0,50 / 2 = 0,25, cioè il 25%.

Perché conta prima di operare

Kelly distingue la probabilità di un esito favorevole dall’entità del relativo payoff. Prima di inserire un ordine, questa distinzione aiuta a capire se il calcolo della dimensione si basa su una probabilità non supportata, un limite di perdita irrealistico o costi non considerati. Lo spread, l’impatto sul mercato e gli altri costi di esecuzione possono modificare le ipotesi sui payoff netti.

Il dimensionamento con Kelly piena può inoltre comportare posizioni ampie e perdite significative nel breve termine. Gli investitori possono valutare la Kelly frazionaria, per esempio utilizzando metà della frazione calcolata, come scenario matematico più prudente; nessuna frazione, però, elimina il rischio di stima. Contano anche le posizioni correlate e la concentrazione del portafoglio: trattare più azioni come opportunità indipendenti può sottostimare il rischio complessivo.

Come lo utilizza PreTrAIde

Le informazioni sul prodotto non indicano che PreTrAIde calcoli una frazione di Kelly o utilizzi il dimensionamento di Kelly. La sua analisi pre-trade verifica un paniere di azioni creato dall’utente prima dell’inserimento dell’ordine e fornisce verdetti per singola linea e per il paniere, valutazioni del rischio, probabilità di successo e strategie di esecuzione suggerite come supporto decisionale, non come raccomandazioni.

PreTrAIde stima inoltre lo spread, l’impatto sul mercato e il VaR a un giorno al 95%, e misura la concentrazione del paniere. Queste verifiche possono aiutare a valutare costi ed esposizione, aspetti da considerare anche in un calcolo separato basato su Kelly. La probabilità di successo indicata da PreTrAIde è una stima del modello compresa tra il 5% e il 95%: non coincide automaticamente con la probabilità di un guadagno definito secondo Kelly e non specifica l’entità di tale guadagno.

Errori comuni

• Considerare solo la percentuale di operazioni vincenti. La formula richiede anche l’entità relativa di guadagni e perdite.
• Trattare una stima come un dato noto. Piccoli errori nella probabilità o nei payoff possono modificare sensibilmente la frazione.
• Confondere il capitale a rischio con il valore della posizione. Le due grandezze coincidono solo con l’ipotesi di perdita totale utilizzata nell’esempio.
• Ignorare le altre posizioni. Correlazione e concentrazione possono rendere inadatte a un paniere complessivo frazioni calcolate individualmente.