Risque et volatilité

critère de Kelly

Le critère de Kelly est une formule de dimensionnement de position qui estime la part du capital maximisant la croissance logarithmique espérée à long terme, à partir de probabilités fiables de gains et de pertes et de leur montant.

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Définition

Le critère de Kelly répond à une question de dimensionnement : si une opportunité risquée peut être saisie de façon répétée, quelle part du capital disponible maximise le taux de croissance espéré du patrimoine ? La réponse dépend à la fois de la probabilité d’un gain et du rapport entre le montant des gains et celui des pertes. Une forte probabilité de succès ne suffit pas à elle seule.

Kelly est une référence mathématique, et non une obligation d’investir la fraction calculée. La formule standard suppose une opportunité répétable à deux issues, avec des probabilités et des gains ou pertes connus. Les actions peuvent avoir de nombreuses issues possibles, et ces paramètres doivent être estimés : la fraction calculée peut donc être très sensible aux erreurs.

Calcul

Pour une opération simplifiée qui aboutit soit à un gain déterminé, soit à une perte déterminée, la fraction de Kelly intégrale est f* = (b × p − q) / b = p − q / b.

  • f* est la fraction du capital allouée à l’opération, exprimée sous forme décimale.
  • p est la probabilité de gain, exprimée sous forme décimale.
  • q = 1 − p est la probabilité de perte.
  • b est le gain net pour chaque dollar américain perdu si l’issue est favorable. Par exemple, gagner 2 $US lorsque l’issue défavorable entraîne une perte de 1 $US donne b = 2.

Cette version suppose que le capital alloué est entièrement perdu en cas d’issue défavorable et qu’il rapporte b fois ce capital en cas d’issue favorable. Si seule une partie de la valeur d’une position en actions peut être perdue, la fraction de la formule correspond plutôt au capital à risque ; pour la convertir en position sur actions, il faut formuler explicitement une hypothèse de perte. Les frais de transaction doivent être intégrés aux gains et pertes nets estimés. Si le résultat est nul ou négatif, le modèle simplifié ne trouve aucune allocation positive qui améliore la richesse logarithmique espérée.

Exemple détaillé

Supposons, à titre hypothétique, qu’une opportunité répétable offre 60 % de chances de gagner 2 $US pour chaque dollar américain à risque, et 40 % de chances de perdre ce dollar. Le capital est de 10 000 $US et la totalité du montant alloué est à risque.

  1. Poser p = 0,60, q = 0,40 et b = 2.
  2. Calculer f* = 0,60 − 0,40 / 2 = 0,40.
  3. Multiplier par le capital : 0,40 × 10 000 $US = 4 000 $US.

Selon ces hypothèses particulières, le résultat de Kelly intégral représente 40 % du capital, soit 4 000 $US. Il ne s’agit pas d’une estimation du gain qu’offrirait une véritable opération sur actions. Si la probabilité passe à 50 % et que les gains et pertes restent identiques, le résultat devient 0,50 − 0,50 / 2 = 0,25, soit 25 %.

Pourquoi est-ce important avant de passer un ordre ?

Kelly distingue la probabilité d’une issue favorable de l’ampleur du gain associé. Avant de passer un ordre, cette distinction permet de vérifier si un calcul de positionnement repose sur une probabilité non étayée, une limite de perte irréaliste ou des frais omis. L’écart acheteur-vendeur, l’impact de marché et les autres coûts d’exécution peuvent modifier les hypothèses de gains nets.

Le dimensionnement selon Kelly intégral peut aussi conduire à des positions importantes et à des pertes substantielles à court terme. Les investisseurs peuvent examiner le Kelly fractionnaire — par exemple, la moitié de la fraction calculée — comme scénario mathématique plus prudent, mais aucune fraction ne supprime le risque d’erreur d’estimation. Les positions corrélées et la concentration du portefeuille comptent également : traiter plusieurs actions comme des opportunités indépendantes peut conduire à sous-estimer leur risque cumulé.

Utilisation par PreTrAIde

Les informations disponibles sur le produit n’indiquent pas que PreTrAIde calcule une fraction de Kelly ou utilise le dimensionnement selon Kelly. Son analyse pré-transaction examine un panier d’actions constitué par l’utilisateur avant le passage d’un ordre et fournit, à titre d’aide à la décision et non de recommandation, des verdicts par ligne et pour l’ensemble du panier, des évaluations des risques, des probabilités de succès et des stratégies d’exécution suggérées.

PreTrAIde estime également l’écart acheteur-vendeur, l’impact de marché et la valeur à risque sur une journée au seuil de 95 %, et mesure la concentration du panier. Ces analyses peuvent éclairer les questions de coûts et d’exposition qu’un calcul de Kelly distinct devrait prendre en compte. Une probabilité de succès fournie par PreTrAIde est une estimation de modèle comprise entre 5 % et 95 % ; elle ne correspond pas automatiquement à la probabilité d’un gain défini selon Kelly et ne précise pas le montant de ce gain.

Erreurs courantes

  • Se fonder uniquement sur le taux de réussite. La formule nécessite aussi de connaître le rapport entre les montants des gains et des pertes.
  • Considérer une estimation comme une donnée certaine. De faibles erreurs sur la probabilité ou le montant des gains et des pertes peuvent modifier sensiblement la fraction.
  • Confondre capital à risque et valeur de la position. Ces deux montants ne coïncident que sous l’hypothèse de perte totale retenue dans l’exemple.
  • Ignorer les autres positions. La corrélation et la concentration peuvent rendre inadaptées, pour un panier combiné, des fractions calculées individuellement.

Questions fréquentes

Quelle est la formule du critère de Kelly ?

Pour une opportunité simplifiée à deux issues, la fraction de Kelly intégrale est `f* = p − (1 − p) / b`, où `p` est la probabilité de gain et `b` le gain net par unité perdue. Le résultat dépend de la manière dont les gains, les pertes et le capital à risque sont définis.

Le Kelly à mi-fraction est-il plus sûr que le Kelly intégral ?

Le Kelly à mi-fraction correspond à la moitié de la fraction de Kelly intégrale calculée : à hypothèses identiques, le montant exposé est donc moindre. Il n’élimine pas les pertes et ne rend pas fiables des estimations incertaines de probabilité ou de gains et pertes.

Puis-je utiliser la probabilité de succès de PreTrAIde dans la formule de Kelly ?

Pas directement. La probabilité de succès de PreTrAIde est une estimation de modèle, pas nécessairement la probabilité d’un gain par rapport à une perte spécifiquement définis. Le calcul de Kelly exige également les montants nets correspondants des gains et des pertes.

Termes associés

Taille de position La taille de position consiste à déterminer le nombre d’actions à détenir ou à négocier en fonction du capital disponible, du poids visé dans le portefeuille et du risque que l’investisseur est prêt à prendre. Risque par transaction Le risque par transaction correspond au montant ou au pourcentage estimé des capitaux propres d’un compte qui pourrait être perdu sur une transaction si un prix de sortie donné était atteint, sans tenir compte des pertes au-delà de ce prix. Probabilité de réussite La probabilité de réussite est un pourcentage estimé par un modèle, associé à un verdict avant passage d’ordre. Elle exprime la probabilité, selon le modèle, de satisfaire aux critères de réussite définis, et non la probabilité de réaliser un gain. Coûts de transaction Les coûts de transaction regroupent les frais explicites et les coûts de négociation implicites supportés lors de l’exécution d’un ordre, notamment les commissions, l’écart acheteur-vendeur et l’impact de marché. Concentration du portefeuille La concentration du portefeuille désigne la part de sa valeur qui dépend d’un petit nombre de positions ou d’expositions communes, par exemple à un secteur ou à un pays. Analyse pré-négociation L’analyse pré-négociation consiste à évaluer un ordre ou un panier d’actions envisagé avant sa transmission, afin d’estimer les coûts d’exécution, la liquidité et les risques et d’éclairer la décision de l’investisseur ainsi que sa stratégie d’exécution.

Risque et volatilité

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Contenu pédagogique, et non conseil en investissement. PreTrAIde est un logiciel d’analyse, pas un courtier : il n’exécute jamais d’ordres et ses verdicts sont une aide à la décision, pas des recommandations d’achat ou de vente.