Risque et volatilité

Covariance

La covariance mesure la façon dont deux variables, comme les rendements d’actions, évoluent ensemble par rapport à leurs moyennes respectives.

Signification

Lorsqu’on compare deux actions, la covariance permet de décrire si leurs rendements ont tendance à augmenter et à diminuer ensemble. Une covariance positive signifie que les rendements supérieurs à la moyenne de l’une ont généralement coïncidé avec des rendements supérieurs à la moyenne de l’autre. Une covariance négative signifie que les rendements supérieurs à la moyenne de l’une ont généralement coïncidé avec des rendements inférieurs à la moyenne de l’autre. Une valeur proche de zéro indique une faible coévolution linéaire dans les observations utilisées.

La covariance n’est ni une probabilité ni un rendement en pourcentage. Son amplitude dépend de l’échelle et des unités des données d’entrée. Si les deux données sont des rendements quotidiens exprimés en décimales, le résultat est exprimé en unités de rendement décimal au carré. L’utilisation de rendements en points de pourcentage modifie le résultat numérique d’un facteur de 10 000. La corrélation standardise la covariance, ce qui facilite la comparaison de l’intensité de la coévolution linéaire entre différentes paires.

Calcul

Pour un échantillon d’observations, utilisez la formule suivante : covariance d’échantillon = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / (n − 1).

xᵢ et yᵢ sont les valeurs des deux variables pour une même période d’observation, par exemple les rendements quotidiens des actions X et Y au jour i.
x̄ et ȳ sont leurs rendements moyens respectifs dans l’échantillon.
n est le nombre d’observations appariées ; il en faut au moins deux pour cette formule d’échantillon.
Σ signifie qu’il faut additionner les produits pour les n observations.

Le dénominateur n − 1 est la convention utilisée pour estimer la covariance à partir d’un échantillon. Si les observations constituent l’ensemble de la population étudiée, la covariance de population se calcule en divisant par n. Précisez la convention employée lorsque vous comparez des résultats.

Exemple détaillé

Supposons que deux actions hypothétiques affichent les rendements quotidiens appariés suivants sur trois jours. Les rendements sont exprimés en points de pourcentage, et non en décimales.

Jour	Action X	Action Y
1	1 %	2 %
2	2 %	1 %
3	3 %	3 %

Calculez chaque moyenne : X est égale à (1 + 2 + 3) / 3 = 2 % ; Y est égale à (2 + 1 + 3) / 3 = 2 %.
Soustrayez les moyennes. Les écarts de X sont −1, 0, +1 point de pourcentage ; ceux de Y sont 0, −1, +1 point de pourcentage.
Multipliez les écarts appariés et additionnez les produits : (−1 × 0) + (0 × −1) + (1 × 1) = 1 point de pourcentage au carré.
Divisez par n − 1 = 2. La covariance d’échantillon est de 0,5 point de pourcentage au carré, soit 0,00005 lorsque les rendements sont exprimés en décimales.

Le résultat positif reflète une coévolution dans ce petit échantillon hypothétique. Trois jours ne suffisent pas à établir une relation stable ni à prévoir les rendements futurs.

Pourquoi c’est important avant de passer un ordre

Le risque d’un panier d’actions dépend non seulement de la volatilité de chaque ligne, mais aussi de la façon dont leurs rendements évoluent ensemble. Dans un portefeuille à deux actions, le terme de covariance dans la variance des rendements est 2 × wX × wY × Cov(X,Y), où wX et wY sont les pondérations du portefeuille exprimées sous forme de fractions et Cov(X,Y) est la covariance des rendements. Une covariance positive augmente ce terme ; une covariance négative le réduit. Les autres termes de variance restent importants, et les relations passées peuvent évoluer.

Avant de passer un ordre, un contrôle pré-négociation peut s’appuyer sur la covariance pour examiner si l’ajout d’une position modifie le risque estimé du portefeuille. Cette analyse diffère de celle de la concentration par valeur, secteur ou pays : des actions de secteurs différents peuvent tout de même évoluer ensemble.

Utilisation par PreTrAIde

Les informations produit de PreTrAIde n’indiquent pas que la plateforme calcule ou affiche la covariance. Son analyse pré-négociation comprend plutôt des estimations de volatilité au niveau de chaque action, un calcul de la value at risk à 95 % sur un jour et des ventilations du panier ainsi que des mesures de concentration. Ces éléments offrent d’autres angles d’analyse du risque, mais ne doivent pas être présentés comme une matrice de covariance ni comme une mesure de la coévolution des rendements deux à deux. Les verdicts GO, NO-GO et MODIFY de PreTrAIde sont des outils d’aide à la décision, et non des recommandations.

Erreurs fréquentes

Confondre covariance et corrélation : la covariance a des unités et n’est pas limitée à l’intervalle de −1 à +1 ; la corrélation est sans unité et bornée par cet intervalle.
Mélanger les formats de rendement : les rendements décimaux et ceux exprimés en points de pourcentage donnent des covariances d’échelles différentes.
Associer des dates non concordantes : calculez la covariance à partir de rendements couvrant les mêmes périodes, en traitant les observations manquantes de manière cohérente.
Supposer qu’une valeur négative garantit une protection : la coévolution historique peut changer, notamment en période de tensions sur les marchés.
Confondre covariance et causalité : le fait que deux actions évoluent ensemble ne permet pas d’expliquer pourquoi elles ont évolué ainsi.

Questions fréquentes

Que signifie une covariance négative entre deux actions ?

Dans les observations mesurées, les rendements supérieurs à la moyenne d’une action ont eu tendance à coïncider avec des rendements inférieurs à la moyenne de l’autre. Cela ne signifie pas qu’elles évolueront toujours en sens opposé.

Quelle est la différence entre covariance et corrélation ?

La covariance conserve l’échelle des deux données d’entrée. La corrélation divise la covariance par le produit des écarts types, ce qui donne un nombre sans unité compris entre −1 et +1 lorsque les deux écarts types sont non nuls.

La covariance peut-elle être supérieure à un ?

Oui. La covariance n’est pas limitée à l’intervalle de −1 à +1 ; sa valeur numérique dépend des unités et de la variabilité des variables. C’est la corrélation, et non la covariance, qui est limitée à cet intervalle.

Termes associés

Corrélation La corrélation est une mesure sans unité, comprise entre −1 et +1, qui indique à quel point deux variables évoluent ensemble selon une relation linéaire. Volatilité La volatilité mesure l’ampleur des variations des rendements d’un actif sur une période donnée. Elle est généralement exprimée par l’écart-type des rendements. Écart-type L’écart-type mesure dans quelle mesure des observations, comme les rendements quotidiens d’une action, s’écartent de leur moyenne. Il s’exprime dans la même unité que ces observations. Diversification La diversification consiste à répartir un portefeuille entre des actifs dont les sources de risque diffèrent, afin que son évolution dépende moins d’un seul actif. Théorie moderne du portefeuille La théorie moderne du portefeuille est un cadre permettant de comparer des portefeuilles selon leur rendement attendu et leur risque. Elle s’appuie sur les pondérations des actifs et leurs corrélations pour repérer les combinaisons présentant le risque modélisé le plus faible pour un rendement attendu donné. Risque de concentration Le risque de concentration est la possibilité de subir des pertes importantes lorsque l’exposition du portefeuille dépend trop d’une seule action, d’un secteur, d’un pays ou d’une autre source de risque commune.

Risque et volatilité

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